メモ：行列式の補題（matrix determinant lemma）
論文を読んでいて matrix determinant lemma の証明が思い浮かばなかったのでメモ（情けない。。）。
内容としては、適当な次元の単位行列 と、それと同じ次元のベクトル
に対して
\begin{equation}
\det(I+uv^T) = 1 + v^Tu
\end{equation}が成り立つ、というシンプルなものですが、結論、英語版 wikipedia*1 に1行の証明が書いてあり、次の恒等式に対して単に行列式をとれば終了です。
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ v^T & 1 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} I+uv^T & u \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ -v^T & 1 \\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} I & u \\ 0 & 1+v^Tu \\ \end{array} \right)
\end{equation}左辺の1つ目と3つ目の行列は三角行列で、対角要素が全て1のため行列式を取ると消えるのですね。
PRML でも式自体は書かれているものの、著者にとっては自明なのか証明が書いてなかったり、そもそも matrix determinant lemma という名称がテクニカルタームだということにも当初気が付かず、調べるのに時間を要したので、こちらで共有しておきます。
なお、PRML 上巻の (C.14) 式は、上の式で を
,
を
と形式的に置き換えるだけで全く同様に成り立つことが示せます。
